一、教學目的：

1)  能通過對不等式應用題的理解，建立數學模型；

2)         掌握利用不等式求最值的方法；

3)         培養學生主動探究，自覺學習的精神；

激發學生創新意識，開發學生的創新潛能。

二、教學重點：建立數學模型解決實際問題

三、教學難點：利用不等式求函數最值

四、教學方法：啟發探究式

五、教學手段：多媒體電教輔助

六、教學過程：

（一）  創設情景，提出問題：

教師設計了一段看似與數學無關，但令學生十分感興趣的話進行引入——

引言： “近十幾年，我們的祖國在各個領域取得了矚目的成就，成為國際上一個舉足輕重的國家，令人驕傲。特別是近期召開的“十六大”上提出的“全面建設小康社會”的國策更令人鼓舞。

我們湖大附中繼成為市示范高中之后，又向著省示范高中的目標邁進！美化校園、

建設校園的規劃工作也進入了一個新的階段！

李玉新校長說，希望用最少的錢辦成最好的事。今天就讓我們一起，利用大家的智

慧，運用數學知識來幫助校長實現這個愿望。”

這番話成功的把學生的情緒和主人翁意識調動起來，于是教師“趁熱”將問題拋出

—— 征集“花房工程”的設計方案。

1）利用課件展示“花房工程”：

校園西側有一面舊墻長14米，現準備利用這面舊墻修建一個平面圖形為矩形，面積為126米 的花房。工程條件是：① 修1米舊墻的費用為 元；② 拆去1米舊墻所得的材料修建1米新墻的費用為 元；③ 建1米新墻的費用為a元。

2)    請學生積極思考，作為設計師,設計建造花房的不同設計方案。啟發學生通過

相互討論，對各種設計方案進行理解、比較。這個問題設計的起點低，使每個學生都可以動手，營造一個“人人參與”的局面，給每個學生提供體味成功的機會。

(二) 深刻理解，大膽嘗試：

鼓勵學生根據開放題的敘述，結合自己的設計，口述各種方案施工簡圖的畫法。教師通過課件直觀展示繪制簡圖的過程。通過比較，認識各種方案的不同之處。通過歸納，方案大致為兩種：

（方案一）利用舊墻的x米（x<14），作為矩形花房的一面邊長；（方案二）矩形花房的一面邊長為x米（x 14）.

 

14米

x 米

126米2

（方案一）

 

這兩種方案的區別是：第一種方案有拆舊建新的施工環節，而第二種方案則沒有。

其中的x表示利用舊墻修建的矩形的一邊邊長，在方案（一）中，0<x<14；而在方案二中，x≥14。同學們還會設計看似不同于上面兩種的其他方案，但從施工方式的角度來看，則皆可歸于其中一種。這個課件展示過程的目的在于：

（一）直觀校對學生繪制簡圖的正誤；

（二）隱性地啟發學生對簡圖中每個量的思考，為后面問題的進一步處理打下基礎。

(三) 探索研究，得出結論:

將設計不同方案的同學分為幾個小組，讓他們計算自己設計的設計方案的最低造價。經過同組成員的共同思考、協作、互評，最終選派一名同學上臺向大家展示成果。第一種方案將總造價y表示為關于x(0<x<14)的函數,利用均值不等式求解: 當x=12米時，最低造價為35a元。第二種方案同樣將工程總造價y表示為關于x(x≥14)的函數,學生容易同樣利用均值不等式求解，而實際上取最值時等號成立的條件不成立。應利用函數的單調性來解決這個求最值的問題，當x=14米時，最低造價為35.5a元。對這個學生易錯的環節絕不能給予事先預防，應讓學生充分暴露其思維過程，獲得結論。再引導學生對自己得到的結論進行全方位的評析，自行修改完善，主動糾錯。這樣，既可提高學習效果，又能優化思維品質，有助于對知識的理解與深化，自覺形成新舊知識的結構體系。這就是所謂的“借誤導悟”。

對“成果”的評價采取自評和互評的方式，選出大家心中的“最佳”方案。讓學生暢所欲言，從造價，施工方式，工期，以及利用土地狀況等諸多因素進行考慮、評價。最后，教師分別從“最實用性”、“最少預算”、“最佳創意”等多個角度對每個設計方案進行肯定。充分珍視和保護每個學生的每一個思維火花，每一次學習激情。

(四) 反思感悟，小結要點：

1）   解不等式應用問題的步驟：

閱讀理解材料

建立數學模型

討論不等關系

做出問題結論

2）   利用均值不等式應注意的問題：“一正二定三相等”；

3）   在使用均值不等式求最值時，若等號不能取得，須考慮利用函數的單調性求解。

(五) 學以致用，開發潛能：

趁學生意猶未盡之際，拿出校園規劃問題之二 ——

草坪小徑問題

請問怎樣修能使這條小路的長度最短，用料最省？

將這個開放性問題留作課堂之外的探究，開放探索空間，提供更自由的數學活動。    

最后，送給學生一段寄語：“今天，我們在一起研究并解決了一個身邊看似復雜，卻在我們能力范圍之內的開放性問題。希望大家今后能夠學習用理性的思考、豐富的知識，去面對、去認識、去分析、去解決學習生活中的一切問題！”良好的數學品質不僅僅只包括數學知識。

七、課后記：

通過對這節開放式授課的設計分析，我們不難了解開放式課堂教學要求教師更新思想，更新教學態度，更新教學方法。我們不難看到開放式課堂教學活動，不僅使能力較強的學生能參加更多的活動，同時也使能力較低的學生能根據自己的能力和興趣踴躍參與體驗數學活動。師生之間、學生之間的多向交流有利于消除傳統授課過于拘謹的場面；有利于縮短師生距離；有利于學生積極思索，勇于發現，敢于提出問題；有利于學生探究意識和創新精神的培養和發揮！給學生一個機會，他們定會還你許多驚喜！